两个圆环的疑问

偶然看到这样一个问题:

两个圆环,半径分别是1和2,小圆在大圆内部绕大圆圆周一周,问小圆自身转了几周?如果在大圆的外部,小圆自身转几周呢?

我当时的思路:如果把大圆拉直的话,而小圆的周长是大圆的两倍,所以不管小圆在里面还是在外面,小圆自身都是转了两圈。

但是从度娘来的答案确让我着实晕了一把,答案如下:

内部1 外部3周

计算如下 小圆和大圆切点在A点处。大圆圆心设为O,小圆圆心设为O'.

(1)当小圆在大圆内部无滑动地转动时,若新切点位置B按滑动方向与A间的弧长为x时,小圆相对于圆心O'转动了x/1=x弧度,但新切点处法线却反向转动了x/2弧度,故实际上,小圆相对于大圆只是转动了x-x/2=x/2弧度。因此,要使小圆相对于大圆转动一周,好就是x/2=2Pi,那么必须x=4Pi.因为大圆周长为2Pi*2=4Pi,所以刚好小圆自转一周。

(2)类似地,小圆无滑动地沿大圆转动x弧度时,它相对小圆圆心转动了x/1=x弧度,而同时,切点处法线也在同一方向上转动了x/2弧度,使小圆相对于大圆自转了x+x/2=3x/2弧度。要使小圆自转一周(2Pi弧度),必须有3x/2=2Pi,即x=4Pi/3.而因大圆周长为4Pi,4pi/(4pi/3)=3;故小圆在大圆外自转3周。

简单的 圆环转过圈数=圆心经过轨迹长/圆周长

所以内部是2π*(2-1)/(2π*1)=1圈

外部是2π*(2+1)/(2π*1)=3圈

就是这样了!

于是我想,确实可能是我的错了,但是当我看到下面这条微博的时候,我又怀疑了。


到底是几圈啊,哎,头晕了,自己回去拿两个圈试一下吧。

本条目发布于2012年12月17日15时,属于搞点技术分类。